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代数学の問題

 投稿者:liaes  投稿日:2017年 6月 8日(木)14時59分10秒
返信・引用
  以下の問題が分かりません。

解説をお願いします。
 
 

最近点が存在する証明

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月30日(火)04時48分23秒
返信・引用
  宜しくお願い致します。

Cは複素数体,D⊂Cを開領域,Γ⊂DをJordan閉集合,更にI(Γ),O(Γ)をΓの内部,外部を表すものとする。
さて,
q∈I(Γ),p∈O(Γ)∩Dを結ぶJordan開曲線L(L:[0,1]→D;L(0)=pが始点,L(1)=qが終点)が存在する。この時,
min L^{-1}(Γ∩L([0,1]))  ∈  [0,1]
が存在する事を示せ。つまり,L([0,1])とΓとの交点の中で一番pに近いものが在る。

を下記のようにして示しました。これで大丈夫でしょうか?

L([0,1])∩Γが有限集合の時は自明。
無限集合(可算集合)の場合,
もし, 任意のk∈Nに対してL([0,1/2^k])∩Γ≠φなら
Γ⊃∩_{k∈N}({z∈C;|z-p|≦1/2^k}∩L([0,1/2^k])∩Γ)={p}となる。
この時,p∈Γでp∈O(Γ)∩Dという仮定に反する。 (終)
 

Re: Borel集合体

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月14日(日)05時09分25秒
返信・引用
  そうでしたか。でしたら
B(S):=∩_{{S∩t;t∈T}⊂Σ⊂2^X,(X,Σ)は可測空間}Σ
を採用します。
 

Re: Borel集合体

 投稿者:phaos  投稿日:2017年 5月13日(土)09時28分36秒
返信・引用
  > No.560[元記事へ]

Cieraさんへのお返事です。

> (X,T)を位相空間とする。S⊂XにおいてS上のBorel集合体B(S)の定義は
> B(S):=∩_{{S∩t;t∈T}⊂Σ⊂2^X,(X,Σ)は可測空間}Σ
> と
> B(S):={V∩S;V∈∩_{{S∩t;t∈T}⊂Σ⊂2^X,(X,Σ)は可測空間}Σ}
> と二通り見かけたのですがどちらが正しいのでしょうか?

ちゃんと検証していないのですが, どちらも同じになるのではないのでしょうか。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

Borel集合体

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 5月12日(金)07時21分55秒
返信・引用
  宜しくお願い致します。

(X,T)を位相空間とする。S⊂XにおいてS上のBorel集合体B(S)の定義は
B(S):=∩_{{S∩t;t∈T}⊂Σ⊂2^X,(X,Σ)は可測空間}Σ

B(S):={V∩S;V∈∩_{{S∩t;t∈T}⊂Σ⊂2^X,(X,Σ)は可測空間}Σ}
と二通り見かけたのですがどちらが正しいのでしょうか?
 

Re: 場合の数について。

 投稿者:phaos  投稿日:2017年 5月 3日(水)09時37分35秒
返信・引用
  > No.558[元記事へ]

コルムさんへのお返事です。

> 直線α上に、点が6個、直線β上に、点が3個ある。
> ただし、2直線とも平行である。
> αとβは必ず1回は、結ぶ。
> 結ばない点や、重複するようには結ばないとする。
> 何度も投稿してすみません。問題を作ってきました。解いていただけないでしょうか?
> (1)全部で何通りあるか。
> (2)g,h,iに2本ずつ線を引くのは、何通りあるか?
> (3)hに4点集まるのは、何通りあるか?
> (4)iに点が少なくとも2本集まるのは何通りあるか?
> (5)gに点が3点集まるのは、何通りあるか?
> (6)gは、b、c、d以外の点で結ぶのは、何通りか?
> 大変恐縮ではございますが解答していただけると幸いです。
> 誠に、申し訳ございませんでした。

問題が良く分からない所がありますね。
「結ぶ」というのは, 例えばα上にある点同士を結ぶのも認めているのかいないのか。
もしそうだとすると, 線が重なってしまっても, 点が重複しなければよいのか。
そもそも, a, b, c, d, g, h, i はどこにあるのか。どういう順番に名前がついているのか。
というわけなので, このままでは一通りの解答が出来かねます。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

場合の数について。

 投稿者:コルム  投稿日:2017年 4月24日(月)14時44分28秒
返信・引用
  直線α上に、点が6個、直線β上に、点が3個ある。
ただし、2直線とも平行である。
αとβは必ず1回は、結ぶ。
結ばない点や、重複するようには結ばないとする。
何度も投稿してすみません。問題を作ってきました。解いていただけないでしょうか?
(1)全部で何通りあるか。
(2)g,h,iに2本ずつ線を引くのは、何通りあるか?
(3)hに4点集まるのは、何通りあるか?
(4)iに点が少なくとも2本集まるのは何通りあるか?
(5)gに点が3点集まるのは、何通りあるか?
(6)gは、b、c、d以外の点で結ぶのは、何通りか?
大変恐縮ではございますが解答していただけると幸いです。
誠に、申し訳ございませんでした。
 

Re: 行列での積の微分公式

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 3月29日(水)00時15分51秒
返信・引用
  ご回答誠に有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。  

Re: 行列での積の微分公式

 投稿者:phaos  投稿日:2017年 3月26日(日)10時43分11秒
返信・引用
  > No.555[元記事へ]

Cieraさんへのお返事です。

> A,B:C→C^{n×n}という複素数からn×n複素行列の関数において
> A(x):=(a_ij(x)),
> B(x):=(b_ij(x)),
> 各成分a_ij(x),b_ij(x)は微分可能の時(i,j=1.2,…,n),
> 微分公式((f(x)g(x))'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)')は行列の関数ででも成立ちますでしょうか?
>
> つまり,
> d/dx (A(x)B(x))=d/dx A(x) + d/dx B(x)
> は正しいでしょうか?

成分毎に見ると
Σ_k a_(ik)b_(kj)
なので, これの微分が
(d/dx)(A(x)B(x))
=(d/dx)(Σ_k a_(ik)b_(kj))
= (Σ_k a_(ik)' b_(kj) + Σ_k a_(ik)b_(kj)')
= (Σ_k a_(ik)' b_(kj)) + (Σ_k a_(ik)b_(kj)')
= ((d/dx)A(x))B(x) + A(x)(d/dx)B(x)
となることから確かめられます。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

行列での積の微分公式

 投稿者:Ciera  投稿日:2017年 3月24日(金)06時39分7秒
返信・引用
  A,B:C→C^{n×n}という複素数からn×n複素行列の関数において
A(x):=(a_ij(x)),
B(x):=(b_ij(x)),
各成分a_ij(x),b_ij(x)は微分可能の時(i,j=1.2,…,n),
微分公式((f(x)g(x))'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)')は行列の関数ででも成立ちますでしょうか?

つまり,
d/dx (A(x)B(x))=d/dx A(x) + d/dx B(x)
は正しいでしょうか?
 

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