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Re: 数列について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月20日(金)19時48分8秒
返信・引用
  > No.585[元記事へ]

マサーシーさんへのお返事です。

> phaosさんへのお返事です。
>
> 問2の
> x≠1のとき
>
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1)
>
> で 右辺の(1/(1 - x))(1/x^k - 1) は
>
> (1・(1-x^k)/(1-x))/x^k (分子は等比数列和の公式より)としたものに (1-x^k)/(1-x^k)を掛けたということでしょうか?

(1・(1-x^k)/(1-x))/x^k
= (1 - x^k)/((1-x)x^k)
= (1/(1-x))(1-x^k)/x^k
= (1/(1-x))(1/x^k - 1)

です。

> またそうだとしたら極限値を求める際、必要となる操作ということでしょうか?
> 類似の問題があった場合も同様の操作が必要ということでしょうか?

多分こうした方が分かり易いと思ったのでそうしただけです。
必ずこうしなければいけないというわけではありません。

> また (1/(1 - x))(1/x^k - 1) の極限値は
>
> (1/(1 - x)) ・ lim_(k→∞) (1/x^k - 1)
> = (1/(1 - x)) ・ (0-1)
> = (1/(1 - x)) ・ -1
> = -(1/(1 - x))
> となるかと思いますがこの場合
> この級数は収束も発散もしないという解答になるのでしょうか?

無限級数は和を取っている項の極限が 0 にならないと収束しません。
-(1/(1 - x)) = 0 とすることは (x = ∞ でない限り) できないので, 収束しません。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 
 

Re: 数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月19日(木)22時41分4秒
返信・引用
  > No.584[元記事へ]

phaosさんへのお返事です。

問2の
x≠1のとき

(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1)

で 右辺の(1/(1 - x))(1/x^k - 1) は

(1・(1-x^k)/(1-x))/x^k (分子は等比数列和の公式より)としたものに (1-x^k)/(1-x^k)を掛けたということでしょうか?

またそうだとしたら極限値を求める際、必要となる操作ということでしょうか?
類似の問題があった場合も同様の操作が必要ということでしょうか?


また (1/(1 - x))(1/x^k - 1) の極限値は

(1/(1 - x)) ・ lim_(k→∞) (1/x^k - 1)
= (1/(1 - x)) ・ (0-1)
= (1/(1 - x)) ・ -1
= -(1/(1 - x))
となるかと思いますがこの場合
この級数は収束も発散もしないという解答になるのでしょうか?

何度もすみません 宜しくお願いします。




> マサーシーさんへのお返事です。
>
>
> > そおすると添付画像のような問題の場合
> > 記載した解答はあってるのでしょうか?
>
> 問2 が間違っています。
> i) x = 1 のとき, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = k なので ∞ になる。
> ii) x ≠ 1 のとき。
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1) だが, lim_(k→∞) (1/x^k - 1) ≠ 0 なので収束しない。
>
> という感じです。
>
 

Re: 数列について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月19日(木)18時30分7秒
返信・引用
  > No.583[元記事へ]

マサーシーさんへのお返事です。


> そおすると添付画像のような問題の場合
> 記載した解答はあってるのでしょうか?

問2 が間違っています。
i) x = 1 のとき, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = k なので ∞ になる。
ii) x ≠ 1 のとき。
(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1) だが, lim_(k→∞) (1/x^k - 1) ≠ 0 なので収束しない。

という感じです。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

Re: 数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月18日(水)23時26分30秒
返信・引用
  お返事有難うございます。
いろいろ理解できました。

そおすると添付画像のような問題の場合
記載した解答はあってるのでしょうか?

何度もすみません。
宜しくお願いします。

phaosさんへのお返事です。

> マサーシーさんへのお返事です。
>
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k
> >
> > のように括弧をつけて考えた場合
> > この数列の初項や公比は分子だけを考えればよいのでしょうか?
> >
> > 例えば この級数の和を求める時は
> > 分子と分母を別々に計算して
> >
> > 分子の和は
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
> > だけ考えて初項 a1=1 , 公比 r=x として考えて
> >
> > a1(1-r^k)/(1-r) ...分子の和
> >
> > x^k ...分母
> >
> > (例) x=2,k=3の時は
> > 1・(1-2^3)/(1-2)/2^3 = 7/8
> > となるのでしょうか?
> >
> > また
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
> > に括弧つけない場合、この数列は
> >
> > 1/x + 1+x/x^2 + 1+x+x^2/x^3......+
> >
> > というような意味になるのでしょうか?
>
> 1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1)/x^k
> は, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-2)) + (1/x)
> の意味ですね。 それ以外はおっしゃる通りです。
 

Re: 数列について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月18日(水)21時25分45秒
返信・引用
  > No.581[元記事へ]

マサーシーさんへのお返事です。

> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k
>
> のように括弧をつけて考えた場合
> この数列の初項や公比は分子だけを考えればよいのでしょうか?
>
> 例えば この級数の和を求める時は
> 分子と分母を別々に計算して
>
> 分子の和は
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
> だけ考えて初項 a1=1 , 公比 r=x として考えて
>
> a1(1-r^k)/(1-r) ...分子の和
>
> x^k ...分母
>
> (例) x=2,k=3の時は
> 1・(1-2^3)/(1-2)/2^3 = 7/8
> となるのでしょうか?
>
> また
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
> に括弧つけない場合、この数列は
>
> 1/x + 1+x/x^2 + 1+x+x^2/x^3......+
>
> というような意味になるのでしょうか?

1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1)/x^k
は, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-2)) + (1/x)
の意味ですね。 それ以外はおっしゃる通りです。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

Re: 数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月17日(火)21時35分54秒
返信・引用
  > No.580[元記事へ]

phaosさんへのお返事です。

お返事有難うございます。

(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k

のように括弧をつけて考えた場合
この数列の初項や公比は分子だけを考えればよいのでしょうか?

例えば この級数の和を求める時は
分子と分母を別々に計算して

分子の和は
(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
だけ考えて初項 a1=1 , 公比 r=x として考えて

a1(1-r^k)/(1-r) ...分子の和

x^k ...分母

(例) x=2,k=3の時は
1・(1-2^3)/(1-2)/2^3 = 7/8
となるのでしょうか?

また
(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
に括弧つけない場合、この数列は

1/x + 1+x/x^2 + 1+x+x^2/x^3......+

というような意味になるのでしょうか?

質問ばかりですみません。
宜しくお願いします。






> マサーシーさんへのお返事です。
>
> > 数列で
> >
> > 1+x+x^2+x^3+...+x^k-1/x^k
> >
> > という問題があった場合、分子は1+x+x^2+x^3+...+x^k-1の級数だと思いますが
> > 分母はx^kということでしょうか?
> >
> > 例えば x=2,k=3 の場合
> >
> > 分子は 1+2+2^2=7
> >
> > 分母は 2^3=8 ですか?
> > それとも分子も 2+2^2+2^3=14になるのでしょうか?
> >
>
> これは本当は括弧の必要な問題ですね。
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k
> という感じ。 k = 3 だと
> (1 + x + x^2)/x^3
> ですね。 k = 4 だと
> (1 + x + x^2 + x^3)/x^4
> という感じですね。
 

Re: 数列について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月17日(火)19時56分20秒
返信・引用
  > No.579[元記事へ]

マサーシーさんへのお返事です。

> 数列で
>
> 1+x+x^2+x^3+...+x^k-1/x^k
>
> という問題があった場合、分子は1+x+x^2+x^3+...+x^k-1の級数だと思いますが
> 分母はx^kということでしょうか?
>
> 例えば x=2,k=3 の場合
>
> 分子は 1+2+2^2=7
>
> 分母は 2^3=8 ですか?
> それとも分子も 2+2^2+2^3=14になるのでしょうか?
>

これは本当は括弧の必要な問題ですね。
(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k
という感じ。 k = 3 だと
(1 + x + x^2)/x^3
ですね。 k = 4 だと
(1 + x + x^2 + x^3)/x^4
という感じですね。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月16日(月)21時09分54秒
返信・引用
  数列で

1+x+x^2+x^3+...+x^k-1/x^k

という問題があった場合、分子は1+x+x^2+x^3+...+x^k-1の級数だと思いますが
分母はx^kということでしょうか?

例えば x=2,k=3 の場合

分子は 1+2+2^2=7

分母は 2^3=8 ですか?
それとも分子も 2+2^2+2^3=14になるのでしょうか?

初歩的な質問ですみません。
宜しくお願いします。
 

Re: 複素線分の性質

 投稿者:samantha  投稿日:2018年 6月26日(火)07時36分11秒
返信・引用
  > No.577[元記事へ]

> だから 「γは閉曲線」 だと成り立つと思います。

なるほどです。どうも有難うございました。
 

Re: 複素線分の性質

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 6月25日(月)19時21分17秒
返信・引用
  > No.576[元記事へ]

samanthaさんへのお返事です。

> f:C→Cを定数関数とし,γ⊂Cを曲線とする。
> 「|∫_γf(z)dz|=0 ⇔ f(z)≡0 か γはジョルダン閉曲線」
> という命題は真でしょうか?

Jordan 性は言えないと思いますね。例えばレムニスケート (8 の字の形をしている) でも成り立ちますよね。
だから 「γは閉曲線」 だと成り立つと思います。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

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