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Re: 集合について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 8月14日(火)18時33分33秒
返信・引用
  > No.591[元記事へ]

マサさんへのお返事です。

> 記号
> a∈A = aは集合Aの要素
> A∨B = 和集合
> A∩B = 共通部分
> U = 全体集合
> Ac = AのUに関する補集合
> として
>
> ドモルガンの法則
> (A∨B)c = Ac∩Bc
> (A∩B)c = Ac∨Bc
>
> (問題)
> 全体集合 U に対する部分集合A,Bについて
> P = Ac∩Bc
> Q = Ac∨Bc
> R = A∩Bc
> の場合
>
> (問1)
> ドモルガンの法則を用いて
> A∩B , Ac∨B
> をP,Q,Rを使って表せ。
>
> (解1…A∩B を表す。)
> x∈(P∨Q)c
> ⇒ x∈Pc∩Qc …解答終り
>
> (解1…Ac∨B を表す。)
> x∈(Q∩R)c
> ⇒x∈Qc∨Rc …解答終り
>
> (問2)
> A,BをそれぞれP,Q,Rを使用して表せ。(ベン図を使用してはならない)
>
> (解2…Aを表す)
> (Ac∩Bc)c∩(A∩Bc)
> ⇒ Pc∩R …解答終り
>
> (解2…Bを表す)
> (Ac∩Bc)c∩(A∩Bc)c
> ⇒ Pc∩Rc …解答終り

こう言っては何ですが, 全然駄目です。
(問 1) は (問 2) の hint になっていますね。
それから 「Venn 図を使わずに」 というのは 「説明するときに Venn 図を使うな」 ということであって, 「考えるときにも Venn 図を使うな」 ということではないと思います。

(問 1)
A∩B = (A^c ∪ B^c)^c = Q^c.
A^c ∪ B = (A ∩ B^c)^c = R^c.

(問 2)
A = (A∩B) ∪ (A ∩ B^c) = Q^c ∪ R.
B = (A∪B) ∩ (A^c ∪ B) = P^c ∩ R^c.

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 
 

集合について

 投稿者:マサ  投稿日:2018年 8月 6日(月)02時48分44秒
返信・引用
  すみません。
もう一つ質問させて下さい。
集合の問題で下の問題の解答は合ってるでしょうか?

記号
a∈A = aは集合Aの要素
A∨B = 和集合
A∩B = 共通部分
U = 全体集合
Ac = AのUに関する補集合
として

ドモルガンの法則
(A∨B)c = Ac∩Bc
(A∩B)c = Ac∨Bc

(問題)
全体集合 U に対する部分集合A,Bについて
P = Ac∩Bc
Q = Ac∨Bc
R = A∩Bc
の場合

(問1)
ドモルガンの法則を用いて
A∩B , Ac∨B
をP,Q,Rを使って表せ。

(解1…A∩B を表す。)
x∈(P∨Q)c
⇒ x∈Pc∩Qc …解答終り

(解1…Ac∨B を表す。)
x∈(Q∩R)c
⇒x∈Qc∨Rc …解答終り

(問2)
A,BをそれぞれP,Q,Rを使用して表せ。(ベン図を使用してはならない)

(解2…Aを表す)
(Ac∩Bc)c∩(A∩Bc)
⇒ Pc∩R …解答終り

(解2…Bを表す)
(Ac∩Bc)c∩(A∩Bc)c
⇒ Pc∩Rc …解答終り
 

Re: e について

 投稿者:マサ  投稿日:2018年 8月 5日(日)23時32分12秒
返信・引用
  > No.589[元記事へ]

phaosさんへのお返事です。

有難う御座います。
納得できました。

> マサさんへのお返事です。
>
> > lim(x→∞) (1+1/3x)^(x+3) を求めると下記の答えで合ってますか?
> >
> > lim(x→∞) ((1+1/3x)^3x)^(1/3・(1+3/x)) = e^(1/3・(1+3/x))
> >
>
> 基本的なこととして lim を取った後に x が残ってはいけません。
> (1 + 1/(3x))^(x + 3)
> = (1 + 1/(3x))^3・(1 + 1/(3x))^x
> = (1 + 1/(3x))^3・((1 + 1/(3x))^(3x))^(1/3)
> → e^(1/3) (as x→∞)
 

Re: e について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月30日(月)19時44分12秒
返信・引用
  > No.588[元記事へ]

マサさんへのお返事です。

> lim(x→∞) (1+1/3x)^(x+3) を求めると下記の答えで合ってますか?
>
> lim(x→∞) ((1+1/3x)^3x)^(1/3・(1+3/x)) = e^(1/3・(1+3/x))
>

基本的なこととして lim を取った後に x が残ってはいけません。
(1 + 1/(3x))^(x + 3)
= (1 + 1/(3x))^3・(1 + 1/(3x))^x
= (1 + 1/(3x))^3・((1 + 1/(3x))^(3x))^(1/3)
→ e^(1/3) (as x→∞)

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

eについて

 投稿者:マサ  投稿日:2018年 7月29日(日)21時52分31秒
返信・引用
  lim(x→∞) (1+1/3x)^(x+3) を求めると下記の答えで合ってますか?

lim(x→∞) ((1+1/3x)^3x)^(1/3・(1+3/x)) = e^(1/3・(1+3/x))

すみません。よろしくお願いします。
 

Re: 数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月23日(月)05時37分52秒
返信・引用
  > No.586[元記事へ]

phaosさんへのお返事です。

有難うございました。
いろいろ理解できました。

また宜しくお願いします。

> マサーシーさんへのお返事です。
>
> > phaosさんへのお返事です。
> >
> > 問2の
> > x≠1のとき
> >
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1)
> >
> > で 右辺の(1/(1 - x))(1/x^k - 1) は
> >
> > (1・(1-x^k)/(1-x))/x^k (分子は等比数列和の公式より)としたものに (1-x^k)/(1-x^k)を掛けたということでしょうか?
>
> (1・(1-x^k)/(1-x))/x^k
> = (1 - x^k)/((1-x)x^k)
> = (1/(1-x))(1-x^k)/x^k
> = (1/(1-x))(1/x^k - 1)
>
> です。
>
> > またそうだとしたら極限値を求める際、必要となる操作ということでしょうか?
> > 類似の問題があった場合も同様の操作が必要ということでしょうか?
>
> 多分こうした方が分かり易いと思ったのでそうしただけです。
> 必ずこうしなければいけないというわけではありません。
>
> > また (1/(1 - x))(1/x^k - 1) の極限値は
> >
> > (1/(1 - x)) ・ lim_(k→∞) (1/x^k - 1)
> > = (1/(1 - x)) ・ (0-1)
> > = (1/(1 - x)) ・ -1
> > = -(1/(1 - x))
> > となるかと思いますがこの場合
> > この級数は収束も発散もしないという解答になるのでしょうか?
>
> 無限級数は和を取っている項の極限が 0 にならないと収束しません。
> -(1/(1 - x)) = 0 とすることは (x = ∞ でない限り) できないので, 収束しません。
 

Re: 数列について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月20日(金)19時48分8秒
返信・引用
  > No.585[元記事へ]

マサーシーさんへのお返事です。

> phaosさんへのお返事です。
>
> 問2の
> x≠1のとき
>
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1)
>
> で 右辺の(1/(1 - x))(1/x^k - 1) は
>
> (1・(1-x^k)/(1-x))/x^k (分子は等比数列和の公式より)としたものに (1-x^k)/(1-x^k)を掛けたということでしょうか?

(1・(1-x^k)/(1-x))/x^k
= (1 - x^k)/((1-x)x^k)
= (1/(1-x))(1-x^k)/x^k
= (1/(1-x))(1/x^k - 1)

です。

> またそうだとしたら極限値を求める際、必要となる操作ということでしょうか?
> 類似の問題があった場合も同様の操作が必要ということでしょうか?

多分こうした方が分かり易いと思ったのでそうしただけです。
必ずこうしなければいけないというわけではありません。

> また (1/(1 - x))(1/x^k - 1) の極限値は
>
> (1/(1 - x)) ・ lim_(k→∞) (1/x^k - 1)
> = (1/(1 - x)) ・ (0-1)
> = (1/(1 - x)) ・ -1
> = -(1/(1 - x))
> となるかと思いますがこの場合
> この級数は収束も発散もしないという解答になるのでしょうか?

無限級数は和を取っている項の極限が 0 にならないと収束しません。
-(1/(1 - x)) = 0 とすることは (x = ∞ でない限り) できないので, 収束しません。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

Re: 数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月19日(木)22時41分4秒
返信・引用
  > No.584[元記事へ]

phaosさんへのお返事です。

問2の
x≠1のとき

(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1)

で 右辺の(1/(1 - x))(1/x^k - 1) は

(1・(1-x^k)/(1-x))/x^k (分子は等比数列和の公式より)としたものに (1-x^k)/(1-x^k)を掛けたということでしょうか?

またそうだとしたら極限値を求める際、必要となる操作ということでしょうか?
類似の問題があった場合も同様の操作が必要ということでしょうか?


また (1/(1 - x))(1/x^k - 1) の極限値は

(1/(1 - x)) ・ lim_(k→∞) (1/x^k - 1)
= (1/(1 - x)) ・ (0-1)
= (1/(1 - x)) ・ -1
= -(1/(1 - x))
となるかと思いますがこの場合
この級数は収束も発散もしないという解答になるのでしょうか?

何度もすみません 宜しくお願いします。




> マサーシーさんへのお返事です。
>
>
> > そおすると添付画像のような問題の場合
> > 記載した解答はあってるのでしょうか?
>
> 問2 が間違っています。
> i) x = 1 のとき, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = k なので ∞ になる。
> ii) x ≠ 1 のとき。
> (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1) だが, lim_(k→∞) (1/x^k - 1) ≠ 0 なので収束しない。
>
> という感じです。
>
 

Re: 数列について

 投稿者:phaos  投稿日:2018年 7月19日(木)18時30分7秒
返信・引用
  > No.583[元記事へ]

マサーシーさんへのお返事です。


> そおすると添付画像のような問題の場合
> 記載した解答はあってるのでしょうか?

問2 が間違っています。
i) x = 1 のとき, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = k なので ∞ になる。
ii) x ≠ 1 のとき。
(1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k = (1/(1 - x))(1/x^k - 1) だが, lim_(k→∞) (1/x^k - 1) ≠ 0 なので収束しない。

という感じです。

http://www.geocities.jp/phaosmath/

 

Re: 数列について

 投稿者:マサーシー  投稿日:2018年 7月18日(水)23時26分30秒
返信・引用
  お返事有難うございます。
いろいろ理解できました。

そおすると添付画像のような問題の場合
記載した解答はあってるのでしょうか?

何度もすみません。
宜しくお願いします。

phaosさんへのお返事です。

> マサーシーさんへのお返事です。
>
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))/x^k
> >
> > のように括弧をつけて考えた場合
> > この数列の初項や公比は分子だけを考えればよいのでしょうか?
> >
> > 例えば この級数の和を求める時は
> > 分子と分母を別々に計算して
> >
> > 分子の和は
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
> > だけ考えて初項 a1=1 , 公比 r=x として考えて
> >
> > a1(1-r^k)/(1-r) ...分子の和
> >
> > x^k ...分母
> >
> > (例) x=2,k=3の時は
> > 1・(1-2^3)/(1-2)/2^3 = 7/8
> > となるのでしょうか?
> >
> > また
> > (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1))
> > に括弧つけない場合、この数列は
> >
> > 1/x + 1+x/x^2 + 1+x+x^2/x^3......+
> >
> > というような意味になるのでしょうか?
>
> 1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-1)/x^k
> は, (1 + x + x^2 + x^3 + … + x^(k-2)) + (1/x)
> の意味ですね。 それ以外はおっしゃる通りです。
 

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